“数形结合搭建学习脚手架”

               --引导学生有效思考

单位：江苏省常州市武进区采菱小学  

邮编：213162  

姓名：徐亚艳

摘要：数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化，帮助学生

在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

关键词：数学思想   数形结合

正文：

数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。

赞科夫说：“教会学生思考,这对学生来说，是一生中最有价值的本钱”，而要教会学生思考，实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多，而小学阶段涉及到“数形结合”数学思想方法，就是学生要把数学问题中的运算、数量关系等几何图形或图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，从而有效地解决数学问题。

一、“数形结合”，构建“直观到抽象”的个体学习思维模型

从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的。人类一开始用小石子、贝壳记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。数学学习包含着一个翻译的过程，将语言翻译成数学符号，或将图形翻译成数学符号，或者将语言翻译成图形。在这个翻译过程中，不同思维层次的个体呈现出的理解程度是不同的。数形结合，则是发挥“数学符号”与“图形”的互补优势，让学生在具体而生动的情境中理解新知识，从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程，并从中获取解题的方法。这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。例如，我在教学“分数乘分数”这节课时，能充分利用图形语言，将这部分比较抽象、枯燥的内容直观化，使学生对分数的计算方法有直观的体验。

第一层次 涂涂，理解分数乘式的含义：×。学生独立思考后用图来表示出×这个算式，接着小组同学相互交流，投影优生的作品，交流自己的想法，引领学困生。

第二层次 观察“数”与“形”，初步疏理算理。结合图说说式子中是怎么得来？借助图找到式子的得数，进一步从得数与式子找到方法。

第三层次 学生畅所欲言，用“图形结合”来验证计算方法。这个层次将数学符号转化为图形语言，再转化为数学符号语言，把数与形相对应，以问题引导，让不同的思维个体都能够逐步提升为能进行抽象的文字描述这一水平。

二、“数形结合”凸现“化繁为简”解题思维过程

我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。

例如，学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的：用4个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少？最小是多少 (周长为整厘米数) ?　一开始学生看不懂，问我“老师，什么意思？”我说：“看不懂的话，照题目说的拼拼看，可以同桌合作。先想有几种拼法?再想拼好后长和宽各是多少？”在我的启发下，学生很快拼出了两种:

8厘米                            4厘米

第一种：（8+2）×2=20厘米       第二种： 4×4=16厘米

在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。

三、“数形结合”，为个体差异解读搭起数学思维的桥梁

个体解决问题的差异，意味着不同思维层面的活动状况。正是基于对学生差异的认识，我们才有必要在解题中让不同的思考方式“有交集地存在”，鼓励学生用自己能领会的解题策略来解决问题。例如，在教学“立体图形”知识时，示范性指导他们用简笔画引导思考有关长正方体的数学问题，使他们能以“图”促“思”，从而快速有效地达到以“数”解题。

试题：一个无盖的长方体玻璃鱼缸，高40㎝，底面是边长为50㎝的正方形。（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？（2）在鱼缸里注入40升水，水深多少㎝？

在班级里，空间想象思维层次高的个体，在持续“数形结合”的训练中，能在头脑中形象化地呈现图形空间结构，它们能准确找到长方体的长、宽、高与表面积、体积之间的关系，从而正确解决相关问题；另一部分个体，可以借助简笔画的“形”确定长、宽、高对应的数据，有效突破了“底面是边长50㎝的正方形”，指的是“长方体的长、宽相同，都是50㎝”这一对应难点。从而分别应用长方体的表面积和体积的计算方法找到两个问题解决的答案。

四、“数形结合”，渗透深层次解决问题的规律性

恩格尔说过这样一句话：“如果有重复，寻找不改变的东西！”在纷乱多样的变化中，往往隐藏着某种不变的规律，这就需要人类从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。数学现象也是如此，需要老师透过知识的本身引导学生发现内在的规律，达到学习要揭开的真正实质，从而实现个体思维深层次的飞跃。例如：六年级中的替换、鸡兔同笼问题，也是从图形中总结出解决问题的方法。

鸡和兔一共有8只，腿有22条。求鸡和兔各有多少只？

用算术方法解决鸡兔同笼问题，有的学生不能完全理解，而借助画图，一步一步总结方法和规律，帮助学生理解。先画8个圆，表示8只动物，假设全是鸡，给每个圆画2条腿，共画了16条腿，还有22-16=8条没有画上，再把剩下的腿添上，每个圆还可以添2条，8条腿可以添8÷2=4只。从画好的图中可以看出，这4只动物有4条腿，是兔。只有2条腿的有4只，是鸡。如果鸡和兔一共有50只，100只呢？你还会用画图的策略吗？

这样的图形与数式的有机结合，逐步让学生感悟到了不同策略中的共有规律，体验到解决问题的策略有时也有优劣之分，应该择优选用。

数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”不同的学生，不同的数学问题结构，期待着教师在教学中能有效地引导学生充分利用“数形结合”，探索解决问题的思路，获取解决问题方法。

【参考文献】

1、《数形结合》

2、顾泠沅：《数学思想方法》